Η έννοια των Μεταθέσεων απαριθμεί το πλήθος των τρόπων που έχουμε στην τοποθέτηση n διαφορετικών αντικειμένων σε μια σειρά χωρίς κάποιον άλλο περιορισμό. Αυτό το πλήθος είναι n! (n- παραγοντικό )

Για παράδειγμα με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω 3 διαφορετικές μπάλες σε ένα ράφι, αυτό γίνεται με 3!=3*2*1 =6 τρόπους. Θα είναι Β1Β2Β3, Β1Β3Β2, Β2Β1Β3, Β2Β3Β1, Β3Β1Β2, Β3Β2Β1. 

Συνεπώς χρησιμοποιώντας Μεταθέσεις απαριθμούμε τρόπους τοποθέτησης αντικειμένων

1. Διαφορετικά μεταξύ τους.

2. Δεν έχουμε περιορισμό στις διαθέσιμες θέσης τοποθέτησης.

3. Έχουμε όλα τα αντικείμενα στην διάθεσή μας.

Αντίστοιχα μπορούμε να δώσουμε τον τύπο υπολογισμού του πλήθους των τρόπων, όταν έχω διαφορετικές t- ομάδες ιδίων N-αντικειμένων. 

Αυτός είναι N!/ N1!*N2!*...Nt!   με Ν=Ν1+Ν2+...+Νt

Οι Διατάξεις είναι ουσιαστικά μεταθέσεις αλλά με περιορισμούς.

Αφορά την απαρίθμηση  του πλήθους των τρόπων που έχουμε για την τοποθέτηση k από τα n διαφορετικά αντικείμενα που διαθέτουμε και κάθε επιλογή θεωρείτε διαφορετική. Όμως θα πρέπει να ορίσουμε και τους περιορισμούς

1. Χωρίς επανάληψη, κάθε αντικείμενο διαθέσιμο μία φορά

P(n,k)= n!/(n-k)!

2. Με επανάληψη, κάθε αντικείμενο διαθέσιμο πολλές φορές, ισοδύναμο με κατανομή k διακεκριμένα αντικείμενα σε n διακεκριμένες υποδοχές:

      2α. Δεν παίζει ρόλο η σειρά στις υποδοχές 

            P(n,k)= n^k

      2β. Παίζει ρόλο η σειρά 

            P(n,k)= (n+k-1)!/(n-1)!

 Ας πάρουμε το παράδειγμά με τις 3 μπάλες. Θέλουμε να τις τοποθετήσουμε σε δύο θέσεις τότε 

Για n=3 και k=2 θα είναι 

1.P(n,k)= n!/(n-k)!=3!/(3-2)!=3!=3*2*1=6

Β1Β2, Β2Β1, Β2Β3, Β3Β2, Β1Β3, Β3Β1

2.α. P(n,k)= n^k= 3^2=9  δηλαδή όλοι οι προηγούμενοι 6 τρόποι συν ακόμα Β1Β1, Β2Β2, Β3Β3

2β. P(n,k)= (n+k-1)!/(n-1)!=12 δηλαδή όλοι οι προηγούμενοι  9 τρόποι  συν ακόμα Β1Β1, Β2Β2, Β3Β3

Αναλόγως το ζητούμενο που θέλουμε να απαριθμήσουμε χρησιμοποιούμε και τον κατάλληλο τύπο.

Οι Συνδυασμοί ουσιαστικά είναι διατάξεις αλλά με περιορισμό ότι τα k δεν είναι διακεκριμένα. Δηλαδή αφορούν την απαρίθμηση  του πλήθους των τρόπων που έχουμε για την τοποθέτηση σε k μη διακεκριμένες θέσεις από τα n διακεκριμένα αντικείμενα, επιλογή k από τα n αντικείμενα, οι επιλογές είναι «ίδιες».

1. Χωρίς επανάληψη, κάθε αντικείμενο διαθέσιμο μία φορά.

C(n.k)=n!/(n-k)!k!

2. Με επανάληψη, κάθε αντικείμενο διαθέσιμο πολλές φορές, ισοδύναμο με κατανομή k μη-διακεκριμένα αντικείμενα σε n διακεκριμένες υποδοχές:

C(n+k-1,k)= (n+k-1)!/(n-1)!k!

Ας πάρουμε ξανά το παράδειγμά με τις 3 μπάλες. Θέλουμε να τις τοποθετήσουμε σε δύο θέσεις τότε
Για n=3 και k=2 θα είναι

1. Χωρίς επανάληψη
C(n.k)=n!/(n-k)!k!=3!/(3-2)!2!=3 δηλαδή  Β1Β2, Β2Β3, Β1Β3

2. Με επανάληψη
C(n+k-1,k)= (n+k-1)!/(n-1)!k!= (3+2-1)!/(3-1)!2!= 6  δηλαδή Β1Β2, Β2Β1, Β2Β3, Β3Β2, Β1Β3, Β3Β1

Θυμηθείτε ότι στους συνδυασμούς οι θέσεις είναι διακεκριμένες και όχι τα αντικείμενα.