Αντικείμενο της Προτασιακής Λογικής είναι ο έλεγχος της εγκυρότητας ενός επιχειρήματος μέσα από την ανάλυση των προτάσεων με βάση τις συνδετικές λέξεις όπως "και", "ή" κτλ.
Η Προτασιακή Λογική χρησιμοποιεί έναν μηχανικό τρόπο ελέγχου ενός επιχειρήματος δημιουργώντας αρχικές προτάσεις αξιώματα και κανόνες παραγωγής δηλαδή μια συντακτική προσέγγιση του επιχειρήματος.

Για την προσέγγιση αυτή γίνεται χρήση τυπικής γλώσσας δηλαδή η δημιουργία στοιχειωδών προτάσεων μέσω πέντε συγκεκριμένων συνδετικών εκφράσεων που μπορούν να κατασκευάσουν και να εκφράσουν σύνθετες προτάσεις.

Κάθε συνδετική έκφραση μπορεί να καθορίσει και βοηθήσει στην εξαγωγή συμπερασμάτων με βάση την ερμηνεία, δηλαδή τους δυνατός χαρακτηρισμούς αλήθειας ή ψεύδους, καθώς και να ορίσει κανόνες παραγωγής προτάσεων από άλλες προτάσεις.

Η γλώσσα της Προτασιακής Λογικής

Τη γλώσσα της προτασιακής λογικής την συμβολίζουμε με Γ0  και ορίζει προτασιακούς τύπους σε σύνολο ενός Τ(Γ0που περιλαμβάνει 
  • Προτασιακές μεταβλητές:  p  ή φ ή ψ (σύμβολα- προτάσεις)
  • Συνδέσμους : 
άρνηση  ┑
σύζευξη ∧
διάζευξη  ∨
συνεπαγωγή →
ισοδυναμία ↔
  • Παρενθέσεις ) και ( , αντί της τελείας και του κόμματος.
Μια Έκφραση είναι μια πεπερασμένη ακολουθία αυτών των συμβόλων ενώ Προτασιακός τύπος ορίζεται ως μια έκφραση α αν και μόνο αν (ανν) είναι 
     α) Προτασιακή μεταβλητή 
ή
     β) Κατασκευασμένος προτασιακός τύπος της μορφής

Κάθε προτασιακός τύπος έχει μοναδική αναγνωσιμότητα και  μπορεί να οριστεί επαγωγικά, ενώ το σύνολο των συνδέσμων αποτελεί ένα επαρκές - πλήρες σύνολο. Για την απόδειξη μπορείτε να ανατρέξετε στα αντίστοιχα θεωρήματα της προτασιακής λογικής.

Ερμηνεία των Εκφράσεων, Αποτίμηση

Κάθε προτασιακός τύπος έχει μια αποτίμηση η οποία αποδίδει τους χαρακτηρισμούς Αλήθειας ή Ψεύδους με βάση την ερμηνεία και την χρήση των συνδετικών εκφράσεων.

Παρακάτω αναφέρουμε τις αποτιμήσεις για τους πέντε βασικούς συνδέσμους



Εδώ θα πρέπει να δώσουμε κάποιους από τους βασικούς ορισμούς

Αν φ προτασιακός τύπος ορισμένως σε ένα σύνολο Τ⊆ Τ(Γ0) και α η αποτίμηση θα λέμε τα εξής:
  1. "Η αποτίμηση α ικανοποιεί το φ" ανν η τιμή της α(φ)=Α( αληθείς) 
  2. "Η αποτίμηση α ικανοποιεί το Τ" ανν η α ικανοποιεί κάθε στοιχείο του Τ
  3. "Το Τ είναι ικανοποιήσιμο " ανν υπάρχει αποτίμηση που το ικανοποιεί
  4. Ο φ είναι ταυτολογία , ανν Κάθε αποτίμηση ικανοποιεί τον φ
  5. Ο φ είναι αντίφαση ανν ο  φ είναι ταυτολογία.
Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι η ικανοποιησιμότητα εξασφαλίζεται αν βρούμε αποτίμηση που δίνει την ίδια τιμή σε όλα τα στοιχεία του συνόλου.
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αν κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το Τ, ικανοποιεί και τον φ τότε θα λέμε ότι το Τ ταυτολογικά συνεπάγεται τον φ και θα γράφουμε Τ⊨ φ. Σε αντίθετη περίπτωση θα γράφουμε Τ⊭ φ .

Νόμοι της Προτασιακής Λογικής

Με την χρήση του ορισμού της έννοιας της ταυτολογίας μπορέσαμε να ορίσουμε ορισμένους κανόνες ή νόμους της προτασιακής Λογικής. Έτσι γνωστές ταυτολογίες είναι:


Προτασιακός Λογισμός

Ο Προτασιακός Λογισμός δεν είναι τίποτα άλλο παρά η μια συντακτική προσέγγιση του ελέγχου των επιχειρημάτων μέσα στο πλαίσιο ενός αξιωματικού συστήματος. Ουσιαστικά μιλάμε για την κατασκευή των αποδείξεων και τον τρόπο εφαρμογής τους.

Μέσα στο πλαίσιο του αξιωματικού συστήματος ορίζουμε και τα τρία βασικά αξιώματα


όπου φ, ψ προτασιακοί τύποι.
Κανόνας Απόσπασης (Modus Ponens)
Ο κανόνας ΜΡ μας δίνει την δυνατότητα να συμπεραίνουμε το τυχόντα προτασιακό τύπο ψ από τους προτασιακούς τύπους  φ,  φ→ ψ  . Δουλεύει δηλαδή σαν μια μορφή "απαλοιφής" του πρώτου μέρους.

Στην διαδικασία της απόδειξης συμμετέχουν τρία θεωρήματα

  • Θεώρημα Απαγωγής
Για κάθε Τ ⊆Τ(Γ0) αν Τ ∪{φ} ⊦  ψ τότε Τ ⊦ φψ

  • Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
Για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ και τυχόντες προτασιακούς τύπους φ, ψ ισχύει
Τ ∪{φ}⊦  ┑ψ ανν Τ ∪ {ψ}⊦ ┑ φ

  • Θεώρημα της σε Άτοπο Απαγωγής 
Για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ και για κάθε  προτασιακό τύπο φ, ισχύει
Αν το Τ∪ {φ} είναι αντιφατικό,  τότε Τ⊦ ┑φ

Η ερμηνεία του συμβολισμού Τ⊦ φ είναι ότι ο φ αποδεικνύεται τυπικά από το Τ

Χρήσιμα πορίσματα αυτών των θεωρημάτων καθώς και τυπικά θεωρήματα που προκύπτουν είναι

  • {φ→ψ , ψ→χ} ⊦ φ→χ
  • {φ→(ψ→χ), ψ}⊦ φ→χ
  • ┑φ→(φ→ψ)
  • (┑ψ→┑φ)→(φ→ψ)
  • φ→(┑ψ→ ┑(φ→ψ))

Για τις αποδείξεις όλων των θεωρημάτων και περαιτέρω ασκήσεις ή παραδείγματα μπορείτε να ανατρέξετε στην αντίστοιχη βιβλιογραφία.

Βιβλιογραφία
  1. Μαθηματική Λογική(Τόμος Γ) Κωνσταντίνος Δημητρακόπουλος, Εκδόσεις ΕΑΠ , Πάτρα 2003
  2. Μαθηματική Λογική Θεωρία και Πράξη,  βιβλιοθήκη eaphelp.