Ο κύκλος και το μονοπάτι Euler συναντάται σε συνεκτικούς κατευθυνόμενους γράφους και σε μη- κατευθυνόμενος. Περισσότερα σχετικά με τον Euler έχουμε αναφερθεί και σε παλαιότερο άρθρο μας που μπορείτε να βρείτε στο στο link "Τι είναι Γράφος ;"
Θα δώσουμε τους ορισμούς του μονοπατιού και κύκλου Euler:
Μονοπάτι Euler είναι μια διαδρομή που διασχίζει κάθε ακμή του  γραφήματος ακριβώς μια φορά.

Κύκλος Euler  είναι μια διαδρομή που διασχίζει κάθε ακμή του  γραφήματος ακριβώς μια φορά, και επιτρέπεται η επανάληψη των κορυφών του.
Όταν έχουμε ένα γράφημα προς διερεύνηση κύκλου ή μονοπατιού Euler δεν μπορούμε να πούμε μα σιγουριά αν έχει ή όχι κύκλο ή μονοπάτι. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να διατυπώσουμε μια αναγκαία και ικανή συνθήκη για ύπαρξη μονοπατιού ή κύκλου Euler.
στην διατύπωση της συνθήκης θα μας βοηθήσει ο βαθμός κορυφής. Σχετικά με τον βαθμό κορυφής μπορείτε να διαβάσετε στο "Είδη Γράφων, Ορισμοί και Πορίσματα".

ΣΥΝΘΗΚΗ:
Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν (ανν) είναι συνεκτικό και έχει μηδέν είτε δύο κορυφές περιττού βαθμού.
 ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Υποθέστε ότι το γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler. Το ότι το γράφημα πρέπει να είναι συνεκτικό είναι προφανές. Όταν διασχίζεται το  μονοπάτι Euler, παρατηρούμε ότι κάθε φορά που το μονοπάτι διέρχεται από μια κορυφή, περνά από δύο ακμές οι οποίες προσπίπτουν στην κορυφή δεν έχουν διασχιστεί νωρίτερα. Έτσι εκτός των δύο κορυφών στα δύο άκρα του μονοπατιού, ο βαθμός οποιασδήποτε κορυφής στο γράφημα πρέπει να είναι άρτιος. Αν οι δύο κορυφές στα δύο άκρα του μονοπατιού Euler είναι διαφορετικές, είναι οι μόνες κορυφές περιττού βαθμού. Αν ταυτίζονται, όλες οι κορυφές είναι άρτιου βαθμού, και το μονοπάτι Euler είναι κύκλωμα Euler.
Επομένως αποδείχτηκε η αναγκαιότητα της συνθήκης που αναφέραμε.
Για να αποδείξουμε το ικανό της συνθήκης, θα κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι Euler αρχίζοντας από μία από τις δύο κορυφές που είναι περιττού βαθμού και πηγαίνοντας προς την άλλη μέσω ακμών του γραφήματος με τέτοιο τρόπο ώστε να μην διασχιστεί καμία ακμή περισσότερες από μία φορές.
Σε κάθε κορυφή άρτιου βαθμού, όποτε το μονοπάτι "φθάνει” στην κορυφή μέσω μιας ακμής, μπορεί πάντα να "εγκαταλείψει” την κορυφή μέσω μιας άλλης ακμής που να μην έχει διασχιστεί νωρίτερα. Επομένως όταν η κατασκευή τελειώσει, θα πρέπει να έχουμε φθάσει σε μια κορυφή περιττού βαθμού. Αν διασχίστηκαν όλες οι ακμές του γραφήματος με αυτόν τον τρόπο, προφανώς, θα έχουμε ένα μονοπάτι Euler. Αν δεν διασχίστηκαν όλες οι ακμές του γραφήματος, θα αφαιρέσουμε αυτές που διασχίστηκαν και θα έχουμε ένα υπογράφημα που σχηματίζεται από τις υπόλοιπες ακμές.
Οι βαθμοί των κορυφών στο υπογράφημα αυτό θα είναι όλοι άρτιοι. Επιπλέον το υπογράφημα αυτό θα πρέπει να τέμνει το μονοπάτι που διασχίσαμε σε μια ή περισσότερες κορυφές αφού το αρχικό γράφημα ήταν συνεκτικό. Αρχίζοντας από μια από τις κορυφές αυτές, μπορούμε και πάλι να κατασκευάσουμε μονοπάτι που περνά από τις ακμές. Επειδή οι βαθμοί των κορυφών είναι όλοι άρτιοι, το μονοπάτι θα πρέπει να επιστρέφει τελικά στην κορυφή στην οποία αρχίζει. Μπορούμε να συνδυάσουμε το μονοπάτι αυτό με το μονοπάτι που κατασκευάσαμε για να επιτύχουμε ένα μονοπάτι το οποίο αρχίζει και τελειώνει στις δύο κορυφές περιττού βαθμού. Αν είναι το επιχείρημα  αναγκαίο επαναλαμβάνεται μέχρι να έχουμε ένα μονοπάτι Euler.

Συνεπώς ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα κύκλο Euler αν και μόνο αν, είναι συνεκτικό και όλες οι κορυφές του είναι άρτιου βαθμού.


Παρακάτω παρουσιάζεται η υλοποίηση του αλγορίθμου Fleury για εύρεση Euler μονοπάτια/ κύκλους, σε γλώσσα προγραμματισμού C για την εύρεση σε μη κατευθυνόμενους γράφους, και σε γλώσσα JAVA για κατευθυνόμενους.

Κύκλος Euler Σε C Και Java