Ο στόχος της Κατηγορηματικής Λογικής είναι η μελέτη επιχειρημάτων με χρήση τυπικών γλωσσών, αλλά και εκφράσεων όπως το "Για κάθε" και το "Υπάρχει" που αποδίδουν ιδιότητες στις εκφράσεις.

Γνωρίζοντας ότι οι τυπικές γλώσσες έχουν πολύ περιορισμένες δυνατότητες έκφρασης παρουσιάζεται η ανάγκη για ανάλυση των επιχειρημάτων και έλεγχο της εγκυρότητας τους, ενώ κάθε τύπος έκφρασης θα πρέπει να τεθεί σε κανονική μορφή χωρίς να αλλάζει η ερμηνεία και το αποτέλεσμα της τιμής αληθείας του.

Στην πρωτοβάθμια γλώσσα ορίζεται μια γλώσσα Γ1 όπου περιλαμβάνει μεταβλητές x, y,z ...κτλ, κατηγορήματα P(x), Q(x), κτλ, συναρτησιακά σύμβολα καθώς και σύμβολα σταθερών.

Θα δώσουμε τρεις βασικούς ορισμούς.

1. Τι είναι "Έκφραση"

Έκφραση της Γ1 είναι κάθε πεπερασμένη ακολουθία από σύμβολα της Γ1.

2. Τι είναι "όρος"

Θα λέμε ότι η έκφραση α είναι όρος ανν (1) το α ∈ M(Γ1) ∪ Στ(Γ1) ή (2) η α είναι της μορφής
fβ1...βn όπου f είναι n-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο και  β1...βn είναι ήδη κατασκευασμένοι όροι. οι συμβολισμοί Μ και Στ αφορούν τα σύνολα των Μεταβλητών και Σταθερών της Γ1.

3. Τι είναι "τύπος"

Η έκφραση α είναι "τύπος" ανν α έχει μια από τις παρακάτω μορφές.
(1) ≈  t1t2  όπου  t1t2  είναι όροι
(2) Pt1...tn όπου P είναι n-μελές κατηγορηματικό σύμβολο και t1...tn  είναι όροι
(3)¬ β ή β∧γ ή β∨γ ή β→γ ή β↔γ  όπου β,γ ήδη κατασκευασμένοι τύποι
(4)∀ xβ ή ∃xβ όπου β  ήδη κατασκευασμένος τύπος και x μεταβλητή.

Όταν μα δοθεί μαι δομή κάποιοι από τους τύπους έχουν ένα συγκεκριμένο νόημα στα πλαίσιο της δομή ενώ άλλοι αποκτούν νόημα υπό προϋποθέσεις. Δηλαδή ορισμένοι τύποι έχουν συγκεκριμένη τιμή αληθείας από κάποιους που οι μεταβλητές τους είναι "ελεύθερες" όπως εμφανίζονται μέσα σε αυτούς.  Τότε αν τύπος φ με μεταβλητή x θα λέμε ότι η x εμφανίζεται ελεύθερη στον φ όταν ισχύει μια από τις παρακάτω προϋποθέσεις.

• ο φ είναι ατομικός τύπος και η x εμφανίζεται στο φ 
• ο φ είναι της μορφής ¬ ψ και η x εμφανίζεται στο ψ 
• ο φ είναι της μορφής ψ∧x ή ψ∨x ή ... και η x εμφανίζεται στο ψ ή στο x
• ο φ είναι της μορφής ∀ yψ ή ∃yψ  όπου x,y είναι διαφορετικές μεταβλητές και η x εμφανίζεται ελεύθερη στο ψ.

Αντίθετα, θα λέμε η x είναι δεσμευμένη  ανν  η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στον φ.
Η ύπαρξη μιας ελεύθερης ή δεσμευμένης μεταβλητής σε τύπο καθορίζει αν ο τύπος αποτελεί "Πρόταση" ή όχι.
Για παράδειγμα θα δώσουμε τους παρακάτω τύπους.

• ∀x1Q(x1) ↔ ∃x2Q(x2)

H x1 είναι δεσμευμένη στον τύπο αφού εμπίπτει στο πεδίο εφαρμογής του ποσοδείκτη ∀, ενώ είναι δεσμευμένη και στο δεύτερο μέρος του τύπου αφού δεν εμφανίζεται καθόλου. Το ίδιο ισχύει και για την μεταβλητή x2 , δηλαδή δεσμευμένη, από τον ποσοδείκτη ∃ και στο πρώτο μέλος του τύπου όπου δεν εμφανίζεται καθόλου.
Συνεπώς αφού καμία από τις μεταβλητές δεν είναι ελεύθερη τότε ο τύπος αποτελεί πρόταση.

• ∃x1Q(x1)∧ Q(x1)

Σαν πρώτη ματιά μπορεί η x1 να είναι δεσμευμένη από το πεδίο εφαρμογής του ποσοδείκτη ∃ αλλά στο δεύτερο μέρος του τύπου εμφανίζεται ελεύθερη στο ατομικό τύπο Q(x1) του δεύτερου μέλους. Συνεπώς η x1 θεωρείται ότι εμφανίζεται ελεύθερη στο τύπο οπότε ο τύπος αυτός δεν αποτελεί πρόταση.

Ενώ "Μοντέλο" (ερμηνεία ή δομή) για μια γλώσσα κατηγορηματικού λογισμού είναι η απόδοση εννοιών στα μη-λογικά σύμβολα που απαρτίζουν τη γλώσσα, δηλαδή, τα κατηγορήματα, τις συναρτήσεις και τις σταθερές.

Παρακάτω εμφανίζεται ένα αρχείο pdf που μπορείτε να κατεβάσετε, αφού συνοψίζει τα απαραίτητα στοιχεία της κατηγορηματικής λογικής, καθώς αξιώματα και κανόνες.



Και ακόμα ένα αρχείο για περαιτέρω μελέτη