Η Άλγεβρα Boole εισηχθεί για πρώτη φορά το 1854 από τον  μαθηματικό και μελετητή της λογικής Τζορτζ Μπουλ με το έργο του An Investigation of the Laws of Thought (Διερεύνηση των νόμων της σκέψης).

Η Άλγεβρα Boole ταυτίστηκε με την πληροφορική αφού σε αντίθεση με την κλασική άλγεβρα οι μεταβλητές της αναπαριστούν τις τιμές 0 ή 1 ενώ υπάρχουν τρεις πράξεις, η σύζευξη, η διάζευξη και η άρνηση αναπαρίστανται σε λογικές πύλες AND, OR ,NOT αντίστοιχα.

Σύμφωνα με την θεμελίωση του Huntington η Άλγεβρα Bool ορίζεται σαν δομή ενός συνόλου Β=<Β, +, . ,-,0,1> όπου το (+) αντιστοιχεί στο λογικό άθροισμα,  το (.) στο λογικό γινόμενο,  το (-) στην αντιστροφή, ενώ οι μεταβλητές παίρνουν τιμές 0 ή 1.
Διαβάστε περισσότερα στο http://eaphelp.blogspot.gr

Αξιώματα της Άλγεβρας Boole

Αν a,b,c ανήκουν στο Β τότε ικανοποιούν τα εξής:

Πρόσθεση                                      Γινόμενο                              Ιδιότητα
a+b=b+a                                        a.b=b.a                                 Αντιμεταθετική
a+(b.c)=(a+b).(a+c)                       a.(b+c)=(a.b)+(a.c)               Επιμεριστική
a+0=a                                            a.1=a                                    Ουδέτερο Στοιχείο
a+a'=1                                           a.a' =0                                   Συμπλήρωμα


Η συμμετρία των πράξεων κάθε ζεύγους αξιωμάτων, δηλαδή η αντιστοίχιση  των σημείων της λογικής πρόσθεσης με το λογικό γινόμενο αποτελεί και την βασική αρχή του Δυϊσμού.
Απόρροια αυτής της αρχής είναι ότι,
Αν μια σχέση Α είναι αληθής τότε θα είναι αληθής και η δυϊκή της.
Δυϊκές σχέσεις που μπορεί να σας φανούν χρήσιμες είναι :
Διαβάστε περισσότερα στο http://eaphelp.blogspot.gr

(a+b').(b+c+0)                             a.b'+b.c.1
a+(a.b)=a                                     a.(a+b)=a
(a+b)' =a'.b'                                 (a.b)'= a'+b'
a+a'.b= a+b                                 a.(a'+b)=a.b

Δυϊκά Θεωρήματα της Άλγεβρας Bool :

a+a=a                                       a.a=a
a+1=1                                      a.0=0
a+(a.b)=a                                 a.(a+b)=a
(a+b)+c =a+(b+c)                    (a.b).c= a.(b.c)
                           a'= (a)'
                          (a')'=a
(a+b)'=a'+b'                            (a.b)'= a'+b'   Θ. De Morgan
a+a'.b=a+b                              a.(a'+b)=a.b   Θ. Απορρόφησης

Χρησιμότητα Άλγεβρας Boole


Η χρησιμότητα της άλγεβρας αυτής έγκειται  στην απλούστευση του σχεδιασμού και υλοποίησης κυκλωμάτων με την βοήθεια λογικών πυλών. Η απλούστευση αυτή κατά συνέπεια οδηγεί στην εξοικονόμηση υλικού και μείωση του κόστους κατασκευής των κυκλωμάτων.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Έστω η λογική συνάρτηση εξόδου Ε του παρακάτω  κυκλώματος πριν τη χρήση της άλγεβρας Boole.

Αυτή είναι: Για Ε1 = ((ΑΒ)’Α)’ με Ε2 = ((ΑΒ)’Β)’ και Ε3 = (Ε1 Ε2)’ = ( ((ΑΒ)’Α)’ ((ΑΒ)’Β)’ )’ τότε Ε = Ε3 + Α = ( ((ΑΒ)’Α)’ ((ΑΒ)’Β)’ )’ + Α

Με την χρήση της Άλγεβρας Boole η λογική συνάρτηση γίνεται :
Ε= ( ((ΑΒ)’Α)’ ((ΑΒ)’Β)’ )’ + Α
  = ( (ΑΒ)’Α + (ΑΒ)’Β ) + Α
  = ( (ΑΒ)’ (Α+Β) ) + Α
  = ( (Α’+Β’) (Α+Β) ) + Α
  = ( A’Α+A’Β+B’A+B’Β) + Α
  = ( A’Β+B’A) + Α
  = A’Β+ (B’A + Α)
  = A’Β + A
  = Β + A

 Με άλλα λόγια το αρχικό κύκλωμα αντικαθίσταται  με μια μόνο πύλη OR !
Διαβάστε περισσότερα στο http://eaphelp.blogspot.gr

Σχετικά μπορείτε να διαβάσετε "Υπολογισμός Λογικών Παραστάσεων - Σχεδίαση Ψηφιακού Κυκλώματος "